南宋杨辉与河图洛书

杨辉，字谦光，南宋钱塘（今杭州）人。《宋史》无传，其生卒年月及生平事迹无从详考。他是当时杰出的算学家，著述甚多，有名的算书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年），《日用算法》二卷（1262年），《乘除通变本末》三卷（1274年），《田亩比类乘除算法》二卷（1275年），《续古摘奇算法》二卷（1275年）。在杨辉的著作中，最有影响的独创成果是“纵横图”。

（一）河洛新篇，创纵横图

杨辉给出的纵横图，记录在《续古摘奇算法》卷上。其中有方阵十三幅，它们是：洛书数一幅，四四图两幅，五五图两幅，六六图两幅，七七图两幅，六十四图两幅，九九图一幅，百子图一幅，其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。另有圆形六幅，名之为：聚五图，聚六图，聚八图，攒九图，八阵图，连环图。

《续古摘奇算法》在杨辉的算学著作中，比较特别，这是一本类似笔记体的著作。纵横图记载在这里的卷上，可以看出杨辉本人是非常珍视这些研究的。

在古人眼中，河图洛书是算学文化的渊薮。南宋杨辉是古代世界第一位将河图洛书在规模上加以发展的算学家。河图，纵横各一线，圆图形式；洛书，纵横各三线，方图形式。河图洛书这样的圆点数阵模式，杨辉称为纵横图。

什么是纵横图呢？如果给出一个范围很小的形式，可以说：纵横图是一个n行n列的平面数字方阵，每一行的和，每一列的和，每条对角线的和，都相等。更大范围的形式，可以说成是由数构成的具有某种特性的结构体。

在杨辉的这些纵横图中，我以为最有趣的有三个，依次是：洛书，四四阴图，九九图。

[1] 洛书，杨辉留下了简易的构造口诀，后世研究发展为构造单数（2k+1）阶方阵。

[2] 四四阴图，杨辉也留下了构造口诀，后世研究发展为构造双偶数（4k）阶方阵。这样的方阵，构造转盘模式，依然有非常广阔的空间。可是，由于没有中心数字，因而也就无法在整体上实现形如.d字符的螺旋结构。

[3] 九九图，这个图非常有趣，是用全息构造的办法完成的。在前面的短文《洛书旋机与全息构造》中，我仔细的谈过这一方法。当初，我写那篇短文的时候，本来想选择杨辉的九九图，再三推敲放弃了，实际上我选择的图和杨辉的图还是有某种连系。一般来说，这样的结构会有某些独特的性质。不过，在规模上发展较快，如果仍然用洛书模式，下一个就是二十七阶方阵了。太大的方阵，已经失去了简易的准则。

需要指出的一点是，这三种类型的方阵都遵循洛书旋机方程组，从某种意义上讲，这样的方阵和洛书最有亲缘，它们携带着洛书的文化基因。

洛书旋机方程组

数字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3

（二）洛书口诀，至简至易

杨辉留下的洛书口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出；戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。

自古以来，洛书的排列，人们只是靠记忆的方式传习。杨辉从自然排列经由巧妙的变化得出洛书排列，这一步堪称至简至易。从此，不用特殊的聪明，一位小小孩童也可以依照口诀顷刻间完成洛书排列。这个例子非常典型的反映着古代算学文化的特点，注重算法构造，崇尚程式操作。

四九二
三五七
八一六

正向取数

4→9→2→3→5→7→8→1→6，2→7→6→9→5→1→4→3→8，
6→1→8→7→5→3→2→9→4，8→3→4→1→5→9→6→7→2；

反向取数

4→3→8→9→5→1→2→7→6，8→1→6→3→5→7→4→9→2，
6→7→2→1→5→9→8→3→4，2→9→4→7→5→3→6→1→8。

数字等和

492357816+276951438+618753294+834159672=2 222 222 220
438951276+816357492+672159834+294753618=2 222 222 220

平方等和

492357816^2+276951438^2+618753294^2+834159672^2
=1 397 796 315 213 555 720
438951276^2+816357492^2+672159834^2+294753618^2
=1 397 796 315 213 555 720

立方等和

492357816^3+276951438^3+618753294^3+834159672^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800
438951276^3+816357492^3+672159834^3+294753618^3
=957 918 414 658 638 784 383 442 800

一二三
四五六
七八九

正向取数

1→2→3→6→9→8→7→4，3→6→9→8→7→4→1→2，
9→8→7→4→1→2→3→6，7→4→1→2→3→6→9→8；

反向取数

1→4→7→8→9→6→3→2，7→8→9→6→3→2→1→4，
9→6→3→2→1→4→7→8，3→2→1→4→7→8→9→6。

数字等和

12369874+36987412+98741236+74123698=222 222 220
14789632+78963214+96321478+32147896=222 222 220

平方等和

12369874^2+36987412^2+98741236^2+74123698^2=16 765 236 721 236 520
14789632^2+78963214^2+96321478^2+32147896^2=16 765 236 721 236 520

立方等和

12369874^3+36987412^3+98741236^3+74123698^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800
14789632^3+78963214^3+96321478^3+32147896^3
=1 422 464 020 933 435 203 974 800

前者为洛书排列，后者为自然排列，计算表明，二者有非常深刻的连系。非常简单的九个数字，非常简单的排列，却以非常自然的方式创造出一组非常奇妙的等式，不能不赞叹这是数字王国展现的奇妙世界。

（三）花十六图，独步天下

当年，杨辉认真的将洛书作为一个数的模式加以研究，由三阶方阵向更大规模的方阵推演，首先出现的就是四阶方阵。杨辉称四阶纵横图为“花十六图”，也称“四四图”。他给出了两图，阳图和阴图。从三三得九到四四十六，这是非常卓越的一步。

阳图

02，16，13，03
11，05，08，10
07，09，12，06
14，04，01，15

阴图

04，09，05，16
14，07，11，02
15，06，10，03
01，12，08，13

在《续古摘奇算法》中，对于阴图，杨辉留下了构造方法，和洛书一样，仍然从自然排列的四行四列方阵开始研究。这里简单介绍一下，所列图式，皆为该步骤完成后的结果。

步骤一：以十六子依次第作四行排列。

13，09，05，01
14，10，06，02
15，11，07，03
16，12，08，04

步骤二：先以外四角对换，一换十六，四换十三。后以内四角对换，六换十一，七换十。

04，09，05，16
14，07，11，02
15，06，10，03
01，12，08，13

经检验，诸行诸列及对角线上四数和皆为三十四，纵横图成立。

行：04+09+05+16=34，14+07+11+02=34，15+06+10+03=34，01+12+08+13=34。
列：04+14+15+01=34，09+07+06+12=34，05+11+10+08=34，16+02+03+13=34。
斜：04+07+10+13=34，16+11+06+01=34。

04，09，05，16
14，○，○，02
15，○，○，03
01，12，08，13

正向取数

01→15→14→04→09→05→16→02→03→13→08→12，
04→09→05→16→02→03→13→08→12→01→15→14，
16→02→03→13→08→12→01→15→14→04→09→05，
13→08→12→01→15→14→04→09→05→16→02→03；

反向取数

01→12→08→13→03→02→16→05→09→04→14→15，
13→03→02→16→05→09→04→14→15→01→12→08，
16→05→09→04→14→15→01→12→08→13→03→02，
04→14→15→01→12→08→13→03→02→16→05→09。

数字等和

011514040905160203130812+040905160203130812011514+
160203130812011514040905+130812011514040905160203
=343 434 343 434 343 434 343 434
011208130302160509041415+130302160509041415011208+
160509041415011208130302+041415011208130302160509
=343 434 343 434 343 434 343 434

平方等和

011514040905160203130812^2+040905160203130812011514^2+
160203130812011514040905^2+130812011514040905160203^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774
011208130302160509041415^2+130302160509041415011208^2+
160509041415011208130302^2+041415011208130302160509^2
=44 582 630 747 529 542 458 528 985 720 399 555 500 760 571 774

立方等和

011514040905160203130812^3+040905160203130812011514^3+
160203130812011514040905^3+130812011514040905160203^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124
011208130302160509041415^3+130302160509041415011208^3+
160509041415011208130302^3+041415011208130302160509^3
=6 420 017 212 108 530 116 715 661 478 912 622 002 713 259 069 423 010 161 074 979 665 715 124

（四）全息构造，无穷奥妙

杨辉留下了一幅九九图，自一开始，至八十一，正合九九归真之数。后世研究者发现杨辉的这幅纵横图，是由洛书模式，采用全息构造的方式实现的。

31，76，13，36，81，18，29，74，11
22，40，58，27，45，63，20，38，56
67，04，49，72，09，54，65，02，47
30，75，12，32，77，14，34，79，16
21，39，57，23，41，59，25，43，61
66，03，48，68，05，50，70，07，52
35，80，17，28，73，10，33，78，15
26，44，62，19，37，55，24，42，60
71，08，53，64，01，46，69，06，51

四四，四九，四二，九四，九九，九二，二四，二九，二二
四三，四五，四七，九三，九五，九七，二三，二五，二七
四八，四一，四六，九八，九一，九六，二八，二一，二六
三四，三九，三二，五四，五九，五二，七四，七九，七二
三三，三五，三七，五三，五五，五七，七三，七五，七七
三八，三一，三六，五八，五一，五六，七八，七一，七六
八四，八九，八二，一四，一九，一二，六四，六九，六二
八三，八五，八七，一三，一五，一七，六三，六五，六七
八八，八一，八六，一八，一一，一六，六八，六一，六六

举个例子，这里“五八”转换为5+8*9-9=68。一般来说，我们将“xy”转换为数字x+9y-9；实际检验，可以看到这样转换的结果，正好得出杨辉的九九图。也许有人会问，杨辉当年真的是这样想的吗？这个问题好比是，画卦者真的是莱布尼兹说的那样思维吗？九数悟之，我们的所见只是自身的外化。

洛书中，可以看见.d字符。自然，由洛书采用全息构造得出的九九图也存在这样的结构。这里，我们只计算其中最大的一个形如.d字符的螺旋结构。.d字符，让人想起银河星系，我们好比置身在数字构造的星辰世界里。

31，76，13，36，81，○，○，○，11
○，○，○，○，45，○，○，○，56
○，○，○，○，09，○，○，○，47
○，○，○，○，77，○，○，○，16
21，39，57，23，41，59，25，43，61
66，○，○，○，05，○，○，○，○
35，○，○，○，73，○，○，○，○
26，○，○，○，37，○，○，○，○
71，○，○，○，01，46，69，06，51

.d字符正向取数

41→77→09→45→81→36→13→76→31，
41→23→57→39→21→66→35→26→71，
41→05→73→37→01→46→69→06→51，
41→59→25→43→61→16→47→56→11；

31，○，○，○，81，18，29，74，11
22，○，○，○，45，○，○，○，○
67，○，○，○，09，○，○，○，○
30，○，○，○，77，○，○，○，○
21，39，57，23，41，59，25，43，61
○，○，○，○，05，○，○，○，52
○，○，○，○，73，○，○，○，15
○，○，○，○，37，○，○，○，60
71，08，53，64，01，○，○，○，51

.d字符正向取数

41→77→09→45→81→18→29→74→11，
41→59→25→43→61→52→15→60→51，
41→05→73→37→01→64→53→08→71，
41→23→57→39→21→30→67→22→31。

数字等和

417709458136137631+412357392166352671+
410573370146690651+415925436116475611
=1 656 565 656 565 656 564
417709458118297411+415925436152156051+
410573370164530871+412357392130672231
=1 656 565 656 565 656 564

平方等和

417709458136137631^2+412357392166352671^2+
410573370146690651^2+415925436116475611^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524
417709458118297411^2+415925436152156051^2+
410573370164530871^2+412357392130672231^2
=686 084 270 972 912 771 763 917 972 771 753 524

立方等和

417709458136137631^3+412357392166352671^3+
410573370146690651^3+415925436116475611^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884
417709458118297411^3+415925436152156051^3+
410573370164530871^3+412357392130672231^3
=284 162 272 243 997 699 865 883 936 491 374 203 728 741 670 052 506 884

（五）数字未来，无限生机

洛书九数，是方图；河图用十，是圆图。当年，杨辉留下的纵横图，除了方图之外，还有圆图。其中有一幅圆图，被杨辉称作“聚八图”。全图用二十四个数，从一开始，布列在一个四圆环上，如杨辉所说“二十四子，作三十二子用”。

一个偶然的机会，这幅聚八图引起了我的注意。这里我们选取该图的中心结构，只有八个数，聚八之名正是由此而得。这八个数排列在两圆相交的位置上，为了书写简单将其排列如下。（完整的聚八图，此处略。）
05，□，□，18
□，08，19，□
□，17，06，□
20，□，□，07

上：05+08+19+18=50；下：17+20+07+06=50；
左：05+20+17+08=50；右：19+06+07+18=50；
内：08+19+17+06=50；外：05+20+07+18=50。

这八个数的排列呈现非常简明的加法等和现象。最特别的是，这幅“聚八图”让我想起了法轮大法。我们翻开大法书《转法轮》，仔细看目录，从第一讲到第九讲，记下每讲中题目的个数。依次排列为：

目录顺序：一二三四五六七八九；
题目个数：七五十五八七五七六。

接着，将记录的数据写成：x1=7，x2=5，x3=10，x4=5，x5=8，x6=7，x7=5，x8=7，x9=6。然后，将x1到x8排列成如下形式。

x5，□，□，x8
□，x1，x4，□
□，x2，x3，□
x6，□，□，x7

上：x1+x4+x5+x8=7+5+8+7=27；
下：x2+x3+x6+x7=5+10+7+5=27；
左：x1+x2+x5+x6=7+5+8+7=27；
右：x3+x4+x7+x8=10+5+5+7=27；
内：x1+x2+x3+x4=7+5+10+5=27；
外：x5+x6+x7+x8=8+7+5+7=27。

明代有一本影响深广的著作《算法统宗》，对推动珠算技术的传播起了非常大的作用，作者是杰出的算学家程大位，这本书的开篇即是河图洛书。明清之际，许多算学家在杨辉的基础上发展，创造了更多新形式的成果，其中包括立体形式的崭新构造。后来，杨辉的著作也流传到了东边的岛国日本。日本算学家关孝和，对杨辉的著作认真研究，有了新的创见，也制作了不少纵横图。

杨辉的研究，也流传了西方。再往后，全世界范围内出现了更多的研究者，创造出了许多非常有趣的纵横图。到今日，纵横图已经成为全人类广泛普及的一笔宝贵知识财富。我所选择的这些内容，一直是顺着洛书这条线索展开的。洛书涵盖的领域，无限宽广，人类目前认识到的现象还相当肤浅。