洛书转盘与勾股乘方
中国人很早就知道“勾三股四弦五”，现存于世的古老天算著作《周髀算经》就记载了这一结果。一般来说，直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方。三三而九，四四十六，五五二十五，正好有这样一种加法关系。
当年，文渊阁大学士李光地(公元1642年―1718年)，奉康熙皇帝之命，率四十九名進士，编纂《周易折中》，搜罗百代之精华，集萃前贤之大成。此书附有易学启蒙篇章，开河洛勾股之先河。
后继者江永(公元1681年―1762年)，字慎修，著作《河洛精蕴》。江永七十九岁时，作此书，阐奥发微，一生研究所得，尽在其中。
二位大儒的著作，在清代，产生了非常深广的影响。九数这篇短文的题目“勾股乘方”四字就取自《河洛精蕴》，在他们的基础上，我稍微作了点引申。
四九二
三五七
八一六
（一）洛书转盘
看了古人留下的许多洛书图式，我认定万年淳的外圆内方洛书图式最适合表现转盘旋机结构。在《洛书旋机与全息结构》这篇短文中，我们引过一句话――天道左旋，地道右转。这是古人留下的观点，在洛书中，可以有非常简明的数字表现。
[1]阳数天盘
□，九，□
三，◎，七
□，一，□
左旋三倍：一三九七
一→三：1*3=3，化为1*3≡3（模10）；
三→九：3*3=9，化为3*3≡9（模10）；
九→七：9*3=27，化为9*3≡7（模10）；
七→一：27*3=81，化为7*3≡1（模10）。
右旋七倍：一七九三
一→七：1*7=7，化为1*7≡7（模10）；
七→九：7*7=49，化为7*7≡9（模10）；
九→三：9*7=63，化为9*7≡3（模10）；
三→一：3*7=21，化为3*7≡1（模10）。
[2]阴数地盘
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
右旋七倍：二四八六
二→四：2*7=14，化为2*7≡4（模10）；
四→八：4*7=28，化为4*7≡8（模10）；
八→六：8*7=56，化为8*7≡6（模10）；
六→二：6*7=42，化为6*7≡2（模10）。
左旋三倍：二六八四
二六：2*3=6，化为2*3≡6（模10）；
六八：6*3=18，化为6*3≡8（模10）；
八四：8*3=24，化为8*3≡4（模10）；
四二：4*3=12，化为4*3≡2（模10）。
很明显，这里写成模10的同余式，是用观察乘法所得的结果来描述转盘数字循环模式的。
洛书口诀中，有一句“左三右七”，我们这里正是用这种模式来解释的。左旋三倍，右旋七倍，这是对天盘和地盘都适用的统一模式。可以说，这是最佳的选择。
（二）周期循环
在《周易折中》里，记有“河图为加减之原，洛书为乘除之原”的说法。实际上，在洛书中有完全的加减乘除四则算术规律。从乘方的角度来看洛书，更能够展现出旋转的特点。
[1]阳数天盘
□，九，□
三，◎，七
□，一，□
一的乘方个位数字总是按照一循环，周期为一。
三的乘方个位数字总是按照三九七一循环，周期为四。
七的乘方个位数字总是按照七九三一循环，周期为四。
九的乘方个位数字总是按照九一循环，周期为二。
1^1=1；1^2=1，……
3^1=3，3^2=9，3^3=27，3^4=81；3^5=243，……
7^1=7，7^2=49，7^3=343，7^4=2401；7^5=16807，……
9^1=9，9^2=81；9^3=729，……
[2]阴数地盘
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
二的乘方个位数字总是按照二四八六循环，周期为四。
四的乘方个位数字总是按照四六循环，周期为二。
六的乘方个位数字总是按照六循环，周期为一。
八的乘方个位数字总是按照八四二六循环，周期为四。
2^1=2，2^2=4，2^3=8，2^4=16；2^5=32，……
4^1=4，4^2=16；4^3=64，……
6^1=6；6^2=36，……
8^1=8，8^2=64，8^3=512，8^4=4096；8^5=32768，……
[3]河洛对照
非常有趣的是，前面归纳的洛书中乘方个位数字规则，如果放在河图中看，正好是同类的居相同方位。
□□七□□
□□二□□
八三五四九
□□一□□
□□六□□
一六，北方水，恰好周期都为一。
二七，南方火，恰好周期都为四，在洛书中反时针。
三八，东方木，恰好周期都为四，在洛书中顺时针。
四九，西方金，恰好周期都为二。
对于这些数来说，有一个共同的特点，无论各自周期是多少，五次方的结果，其个位数字总回到该数本身。写成同余式，即a^5≡a（模10）。
（三）.d字螺旋
我们从.d字符的角度看洛书，将洛书划分为四条螺旋臂。四→三→五，二→九→五，六→七→五，八→一→五。这里的数字排列，是从边缘走向中心数字五。
四，九，二
三，五，七
八，一，六
仔细看，四→三→五，这分明是勾三股四弦五的模式。难道这洛书也能够和勾股定理连上？是的，当年江永就是这样看的。为此，他作了四幅洛书勾股图，每条螺旋一幅图。
也许有人会问，那“二→九→五”呢？这也难不住江永，他用前面的“左旋三倍”乘法规则来解释。
四→三→五：4^2+3^2=5^2
二→九→五：12^2+9^2=15^2
六→七→五：36^2+27^2=45^2
八→一→五：108^2+81^2=135^2
注意到.d字符是旋转的，上面的模式还可以继续下去。
四→三→五：324^2+243^2=405^2
二→九→五：972^2+729^2=1215^2
六→七→五：2916^2+2187^2=3645^2
八→一→五：8748^2+6561^2=10935^2
勾3→9→27→81→243→729→2187→6561→……
股4→12→36→108→324→972→2916→8748→……
弦5→15→45→135→405→1215→3645→10935→……
很明显，.d字符每旋转四分之一圆周，数字就都扩大三倍了，如此循环下去，直至无穷。在这个变化过程中，洛书中的数字，记录的正好是所得大数的个位数字。就这样，小小的洛书中，存储了无数的勾股弦数字组合。
（四）黄金比例
黄金比0.618……，这是西方人认识的奇妙数字。许多人都认为，这个数字也写在洛书里面了。因为我们分明看见洛书最下方排列的是“八一六”，如此离黄金比也就不远了。人们可以用这三个数字写出一个小数0.618，这正好是黄金比的近似值。
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
请注意观察偶数在洛书中的排列，按照顺时针方向，从左上角开始，正好是四二六八。非常有趣的是，4+2=6，2+6=8，6+8=14，这里14的个位数字正好回到了出发点4。这里，并没有按照“左旋三倍”的乘法来看，而是不断的作加法，这正是黄金数列的生成规则！
继续演算下去，8+14=22，14+22=36，36+58=94，58+94=152，94+152=246，152+246=398。
就这样，我们得出了一个序列：4，2，6，8，14，22，36，58，94，152，246，398，……很明显这个序列的个位数字恰好是按照4→2→6→8的顺序循环出现。
一般来说，x[1]=4，x[2]=2，x[n]+x[n+1]=x[n+2]，由此就可以完全确定这个序列。由于这个序列与斐波那契数列的生成规则一致，都是x[n]+x[n+1]=x[n+2]，因此同样会有相邻二项的比值x[n]∶x[n+1]越来越接近0.618……（黄金比）。
我们算几个例子看一下吧。22/36=0.61111…，58/94=0.61702…，94/152=0.61842…，246/398=0.61809…。
好几个世纪以前，一位德国人开普勒说过，几何学里有两大宝藏，一个是勾股定理，一个是黄金比例。非常有意思的是，人们按照易的象数思维，这两大宝藏竟然都和洛书连上了。也许是因为洛书的地位实在太崇高吧，人们总是想尽可能的往洛书里面多装点好东西。
有时候，我在想，八卦就是一只葫芦，里面装着天地间无数的真宝。八卦如此，河图洛书也是如此，天干地支甲子五行还是如此。这是典型的东方人发展学术的方式，后人为前人注解的时候，这个“注”字生动的表达了又有新的东西注入其中了。这个过程，就是往葫芦里装宝的过程。
（五）算术妙趣
从前，有一位法国人，非常喜欢东方文化，尤其是对中国的洛书河图八卦有极大的兴趣，花了大量的时间学易。非常有趣的是，这位法国人竟然从洛书中领悟了一个有趣的数字排列。
四，九，二
三，五，七
八，一，六
他发现，在洛书中，按照“三→八→一→六→五→四→七→二→九”这样的顺序取数，可以得出一组非常奇妙的数字。依次得出的是一位数到九位数：3，38，381，3816，38165，381654，3816547，38165472，381654729。
请看下面的除法计算。
一位数字：三，3÷1=3；
二位数字：三八，38÷2=19；
三位数字：三八一，381÷3=127；
四位数字：三八一六，3816÷4=954；
五位数字：三八一六五，38165÷5=7633；
六位数字：三八一六五四，381654÷6=63609；
七位数字：三八一六五四七，3816547÷7=545221；
八位数字：三八一六五四七二，38165472÷8=4770684；
九位数字：三八一六五四七二九，381654729÷9=42406081。
他的发现是，在这个顺序中，取几位数，该数就是几的倍数。需要注意的是，“三→八→一”与“七→二→九”正好在洛书中处于中心对称的位置。你看，这位法国人的发现确实非常有趣呢！
这样的一种数字研究，对于古代的中国人来说，是非常陌生的。因为这完全是西方人的传统，他们受古希腊的影响，重视几何和素数。
算数，对于古代的中国人来说，就是加减乘除乘方开方，并不关心数之间的分解与合成，也就没有素数合数这样的内容了。在二千多年前，中国人并没有素数的概念，这是当时希腊人的文化。算筹算盘这些算具的发明，意味着古代中国人擅长的是计算。
https://www.zhengjian.org/node/59000