河图洛书八卦，这是古代中国人的“数”学。在前面的短文中，我们介绍了北宋理学家邵雍的传世之作《伏羲先天六十四卦次序方圆图》。以数解卦，这是一条通往过去未来的道路。在古代东方，以邵雍学说为顶峰；在近代西方，以莱布尼兹为开拓者；在当代世界，有众多的人在探索。

本文中，我们继续考虑邵雍的六十四卦方图排列形式。表中六十四卦的书写格式为：下卦在前，上卦在后。（电脑时代，由于书写方式的变化，我只好用这样不同于古人的办法了。）

坤坤，坤艮，坤坎，坤巽，坤震，坤离，坤兑，坤乾
艮坤，艮艮，艮坎，艮巽，艮震，艮离，艮兑，艮乾
坎坤，坎艮，坎坎，坎巽，坎震，坎离，坎兑，坎乾
巽坤，巽艮，巽坎，巽巽，巽震，巽离，巽兑，巽乾
震坤，震艮，震坎，震巽，震震，震离，震兑，震乾
离坤，离艮，离坎，离巽，离震，离离，离兑，离乾
兑坤，兑艮，兑坎，兑巽，兑震，兑离，兑兑，兑乾
乾坤，乾艮，乾坎，乾巽，乾震，乾离，乾兑，乾乾

（一）对称加法数表

方图与洛书很象，都是方阵形式。有很多人尝试将这个六十四卦方图化为八行八列数阵，当年德国人莱布尼兹的天才创见是化为0-1数表，这个思路我们在前面的短文中已经考虑过。对于今人来说，一个常见的简单办法是对卦数作加法。首先，将八卦配上八个数；接着，在六十四卦方图中，将每个卦换成上卦与下卦各自所配之数的和，这样就得到了一张加法数表。

卦名：坤，艮，坎，巽，震，离，兑，乾
卦数：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
和数：数表中第i行第j列的数为ai+aj，这里i，j取数1-8。

a1+a1, a1+a2, a1+a3, a1+a4, a1+a5, a1+a6, a1+a7, a1+a8
a2+a1, a2+a2, a2+a3, a2+a4, a2+a5, a2+a6, a2+a7, a2+a8
a3+a1, a3+a2, a3+a3, a3+a4, a3+a5, a3+a6, a3+a7, a3+a8
a4+a1, a4+a2, a4+a3, a4+a4, a4+a5, a4+a6, a4+a7, a4+a8
a5+a1, a5+a2, a5+a3, a5+a4, a5+a5, a5+a6, a5+a7, a5+a8
a6+a1, a6+a2, a6+a3, a6+a4, a6+a5, a6+a6, a6+a7, a6+a8
a7+a1, a7+a2, a7+a3, a7+a4, a7+a5, a7+a6, a7+a7, a7+a8
a8+a1, a8+a2, a8+a3, a8+a4, a8+a5, a8+a6, a8+a7, a8+a8

这一类数阵，看上去比较平凡，数字沿主对角线对称排列。第i行第j列的数与第j行第i列的数相同。（ai+aj=aj+ai。）

我们举一个简单的例子。
卦数：a1=01, a2=02, a3=03, a4=04, a5=06, a6=07, a7=08, a8=09。
02，03，04，05，07，08，09，10
03，04，05，06，08，09，10，11
04，05，06，07，09，10，11，12
05，06，07，08，10，11，12，13
07，08，09，10，12，13，14，15
08，09，10，11，13，14，15，16
09，10，11，12，14，15，16，17
10，11，12，13，15，16，17，18

这一类数阵，也是有非常有意义的，只是这篇短文并不作计算。纯粹从数的角度来看，八行八列只是一个例子，同样可以计算九行九列，乃至更大更小。对于我们来说，写具体的数字，比写字母符号更接近日常习惯。所得的加法数表，有什么用呢？这是很多人关心的一个问题，考虑到古人的各种阵法，也许有人会制作成实物模型。

（二）非对称加法数表

在前面的对称加法数表中，我们忽略了卦的位置――上卦与下卦，现在考虑新的配数方法，区分上卦和下卦。首先，将排在上卦的八卦配上八个数；接着，将排在下卦的八卦配上八个数；然后，在六十四卦方图中，将每个卦换成上卦与下卦各自所配之数的和，这样就得到了一张加法数表。（为了和对称加法数表区别，我们总约定：上卦配数和下卦配数不可以完全相同。）

卦名：坤，艮，坎，巽，震，离，兑，乾
下卦：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
上卦：b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8
和数：数表中第i行第j列的数为ai+bj，这里i，j取数1-8。

a1+b1, a1+b2, a1+b3, a1+b4, a1+b5, a1+b6, a1+b7, a1+b8
a2+b1, a2+b2, a2+b3, a2+b4, a2+b5, a2+b6, a2+b7, a2+b8
a3+b1, a3+b2, a3+b3, a3+b4, a3+b5, a3+b6, a3+b7, a3+b8
a4+b1, a4+b2, a4+b3, a4+b4, a4+b5, a4+b6, a4+b7, a4+b8
a5+b1, a5+b2, a5+b3, a5+b4, a5+b5, a5+b6, a5+b7, a5+b8
a6+b1, a6+b2, a6+b3, a6+b4, a6+b5, a6+b6, a6+b7, a6+b8
a7+b1, a7+b2, a7+b3, a7+b4, a7+b5, a7+b6, a7+b7, a7+b8
a8+b1, a8+b2, a8+b3, a8+b4, a8+b5, a8+b6, a8+b7, a8+b8

前面的短文中，我们已经认识到了，在六十四卦方图中，同样可以划分转盘结构。本文中，我们对新的数表作同样的尝试。在这里，我们给出上述八行八列非对称加法数表的一种常见模式――全等差数阵。为方便理解，我们同时也给出一个简单的数字示例。在计算的时候，为了简洁，我们仍然考虑计算转盘结构和螺旋结构，这是二种具有典范意义的基本结构。

洛书旋机方程组
数字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3
这组方程，我们已经见过好多次了。面对八个未知数的三次方程，说实在的，我并不知道这样的方程该如何求解。我知道的只是，如何借助转盘结构和螺旋结构，为这组方程提供无数无数的解。

一类非对称加法数表――全等差数阵
卦名：坤，艮，坎，巽，震，离，兑，乾
下卦：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8，这八个数构成等差数列；
上卦：b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8，这八个数构成等差数列。

我们看一个具体的例子，所得的数表，横向每行依次增加3，纵向每列依次增加1。整体上看，数表中数字的分布并不关于主对角线对称。
下卦：a1=01, a2=02, a3=03, a4=04, a5=05, a6=06, a7=07, a8=08；
上卦：b1=00, b2=03, b3=06, b4=09, b5=12, b6=15, b7=18, b8=21。

01，04，07，10，13，16，19，22
02，05，08，11，14，17，20，23
03，06，09，12，15，18，21，24
04，07，10，13，16，19，22，25
05，08，11，14，17，20，23，26
06，09，12，15，18，21，24，27
07，10，13，16，19，22，25，28
08，11，14，17，20，23，26，29

[1]转盘结构
????????
?●●●●●●?
?●????●?
?●?●●?●?
?●?●●?●?
?●????●?
?●●●●●●?
????????

所谓转盘结构，类似于周天循环，实际的例子是行星运行轨迹。
第四层转盘
01，04，07，10，13，16，19，22
02，?，?，?，?，?，?，23
03，?，?，?，?，?，?，24
04，?，?，?，?，?，?，25
05，?，?，?，?，?，?，26
06，?，?，?，?，?，?，27
07，?，?，?，?，?，?，28
08，11，14，17，20，23，26，29

正向取数
01→04→07→10→13→16→19→22→23→24→25→26→27→28→29→26→23→20→17→14→11→08→07→06→05→04→03→02，
22→23→24→25→26→27→28→29→26→23→20→17→14→11→08→07→06→05→04→03→02→01→04→07→10→13→16→19，
29→26→23→20→17→14→11→08→07→06→05→04→03→02→01→04→07→10→13→16→19→22→23→24→25→26→27→28，
08→07→06→05→04→03→02→01→04→07→10→13→16→19→22→23→24→25→26→27→28→29→26→23→20→17→14→11；
反向取数
01→02→03→04→05→06→07→08→11→14→17→20→23→26→29→28→27→26→25→24→23→22→19→16→13→10→07→04，
08→11→14→17→20→23→26→29→28→27→26→25→24→23→22→19→16→13→10→07→04→01→02→03→04→05→06→07，
29→28→27→26→25→24→23→22→19→16→13→10→07→04→01→02→03→04→05→06→07→08→11→14→17→20→23→26，
22→19→16→13→10→07→04→01→02→03→04→05→06→07→08→11→14→17→20→23→26→29→28→27→26→25→24→23。
数字等和
01040710131619222324252627282926232017141108070605040302+
22232425262728292623201714110807060504030201040710131619+
29262320171411080706050403020104071013161922232425262728+
08070605040302010407101316192223242526272829262320171411
=60 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
01020304050607081114172023262928272625242322191613100704+
08111417202326292827262524232219161310070401020304050607+
29282726252423221916131007040102030405060708111417202326+
22191613100704010203040506070811141720232629282726252423
=60 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
平方等和
01040710131619222324252627282926232017141108070605040302^2+
22232425262728292623201714110807060504030201040710131619^2+
29262320171411080706050403020104071013161922232425262728^2+
08070605040302010407101316192223242526272829262320171411^2
=1 416 781 858 171 574 125 068 456 197 314 703 816 019 389 878 585 900 018 440 377 635 963 738 804 203 860 892 572 307 507 294 351 555 759 595 545 270
01020304050607081114172023262928272625242322191613100704^2+
08111417202326292827262524232219161310070401020304050607^2+
29282726252423221916131007040102030405060708111417202326^2+
22191613100704010203040506070811141720232629282726252423^2
=1 416 781 858 171 574 125 068 456 197 314 703 816 019 389 878 585 900 018 440 377 635 963 738 804 203 860 892 572 307 507 294 351 555 759 595 545 270
立方等和
01040710131619222324252627282926232017141108070605040302^3+
22232425262728292623201714110807060504030201040710131619^3+
29262320171411080706050403020104071013161922232425262728^3+
08070605040302010407101316192223242526272829262320171411^3
=36 572 701 263 969 344 500 078 559 654 772 760 204 459 842 687 761 017 339 488 931 649 651 742 586 582 450 845 472 037 908 858 461 548 448 636 402 510 544 322 467 994 730 593 258 544 670 711 435 800 060 309 337 646 625 150
01020304050607081114172023262928272625242322191613100704^3+
08111417202326292827262524232219161310070401020304050607^3+
29282726252423221916131007040102030405060708111417202326^3+
22191613100704010203040506070811141720232629282726252423^3
=36 572 701 263 969 344 500 078 559 654 772 760 204 459 842 687 761 017 339 488 931 649 651 742 586 582 450 845 472 037 908 858 461 548 448 636 402 510 544 322 467 994 730 593 258 544 670 711 435 800 060 309 337 646 625 150

第三层转盘
05，08，11，14，17，20
06，?，?，?，?，21
07，?，?，?，?，22
08，?，?，?，?，23
09，?，?，?，?，24
10，13，16，19，22，25

正向取数
05→08→11→14→17→20→21→22→23→24→25→22→19→16→13→10→09→08→07→06，
20→21→22→23→24→25→22→19→16→13→10→09→08→07→06→05→08→11→14→17，
25→22→19→16→13→10→09→08→07→06→05→08→11→14→17→20→21→22→23→24，
10→09→08→07→06→05→08→11→14→17→20→21→22→23→24→25→22→19→16→13；

反向取数
05→06→07→08→09→10→13→16→19→22→25→24→23→22→21→20→17→14→11→08，
10→13→16→19→22→25→24→23→22→21→20→17→14→11→08→05→06→07→08→09，
25→24→23→22→21→20→17→14→11→08→05→06→07→08→09→10→13→16→19→22，
20→17→14→11→08→05→06→07→08→09→10→13→16→19→22→25→24→23→22→21。

数字等和
0508111417202122232425221916131009080706+
2021222324252219161310090807060508111417+
2522191613100908070605081114172021222324+
1009080706050811141720212223242522191613
=6 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
0506070809101316192225242322212017141108+
1013161922252423222120171411080506070809+
2524232221201714110805060708091013161922+
2017141108050607080910131619222524232221
=6 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060

平方等和
0508111417202122232425221916131009080706^2+
2021222324252219161310090807060508111417^2+
2522191613100908070605081114172021222324^2+
1009080706050811141720212223242522191613^2
=11 723 211 300 867 256 360 975 513 525 191 511 091 117 009 497 051 731 456 182 084 266 829 299 030 709 070
0506070809101316192225242322212017141108^2+
1013161922252423222120171411080506070809^2+
2524232221201714110805060708091013161922^2+
2017141108050607080910131619222524232221^2
=11 723 211 300 867 256 360 975 513 525 191 511 091 117 009 497 051 731 456 182 084 266 829 299 030 709 070

立方等和
0508111417202122232425221916131009080706^3+
2021222324252219161310090807060508111417^3+
2522191613100908070605081114172021222324^3+
1009080706050811141720212223242522191613^3
=25 460 849 987 385 322 274 128 339 436 793 091 708 658 819 675 732 550 483 754 540 723 297 214 384 413 088 408 878 472 325 643 856 350 098 821 365 176 096 150
0506070809101316192225242322212017141108^3+
1013161922252423222120171411080506070809^3+
2524232221201714110805060708091013161922^3+
2017141108050607080910131619222524232221^3
=25 460 849 987 385 322 274 128 339 436 793 091 708 658 819 675 732 550 483 754 540 723 297 214 384 413 088 408 878 472 325 643 856 350 098 821 365 176 096 150

第二层转盘
09，12，15，18
10，?，?，19
11，?，?，20
12，15，18，21

正向取数
09→12→15→18→19→20→21→18→15→12→11→10，
18→19→20→21→18→15→12→11→10→09→12→15，
21→18→15→12→11→10→09→12→15→18→19→20，
12→11→10→09→12→15→18→19→20→21→18→15；

反向取数
09→10→11→12→15→18→21→20→19→18→15→12，
12→15→18→21→20→19→18→15→12→09→10→11，
21→20→19→18→15→12→09→10→11→12→15→18，
18→15→12→09→10→11→12→15→18→21→20→19。

数字等和
091215181920211815121110+181920211815121110091215+
211815121110091215181920+121110091215181920211815
=606 060 606 060 606 060 606 060
091011121518212019181512+121518212019181512091011+
212019181512091011121518+181512091011121518212019
=606 060 606 060 606 060 606 060

平方等和
091215181920211815121110^2+181920211815121110091215^2+
211815121110091215181920^2+121110091215181920211815^2
=100 948 472 604 628 160 801 958 989 960 618 304 462 748 288 950
091011121518212019181512^2+121518212019181512091011^2+
212019181512091011121518^2+181512091011121518212019^2
=100 948 472 604 628 160 801 958 989 960 618 304 462 748 288 950

立方等和
091215181920211815121110^3+181920211815121110091215^3+
211815121110091215181920^3+121110091215181920211815^3
=18 059 195 258 274 230 088 766 492 807 229 318 162 283 624 119 852 769 939 059 927 122 650 750
091011121518212019181512^3+121518212019181512091011^3+
212019181512091011121518^3+181512091011121518212019^3
=18 059 195 258 274 230 088 766 492 807 229 318 162 283 624 119 852 769 939 059 927 122 650 750

第一层转盘
13，16
14，17
正向取数
13→16→17→14，16→17→14→13，17→14→13→16，14→13→16→17；
反向取数
13→14→17→16，14→17→16→13，17→16→13→14，16→13→14→17。
数字等和
13161714+16171413+17141316+14131617=60 606 060
13141716+14171613+17161314+16131417=60 606 060
平方等和
13161714^2+16171413^2+17141316^2+14131617^2=928 272 627 080 910
13141716^2+14171613^2+17161314^2+16131417^2=928 272 627 080 910
立方等和
13161714^3+16171413^3+17141316^3+14131617^3
=14 367 736 627 245 814 108 950
13141716^3+14171613^3+17161314^3+16131417^3
=14 367 736 627 245 814 108 950

[2]螺旋结构
???●?
●●?●?
?????
?●?●●
?●???
这里所说的螺旋结构，形如.d字符，实际的例子是银河星系。很显然，双数阶方阵，并没有中心数字，因此无法构造螺旋结构。我们考虑子方阵，为了简单总是从左上角开始取数，依次选取七阶，五阶，三阶子方阵。

七阶子方阵
01，04，07，10，13，16，19
02，05，08，11，14，17，20
03，06，09，12，15，18，21
04，07，10，13，16，19，22
05，08，11，14，17，20，23
06，09，12，15，18，21，24
07，10，13，16，19，22，25

01，04，07，10，?，?，19
?，?，?，11，?，?，20
?，?，?，12，?，?，21
04，07，10，13，16，19，22
05，?，?，14，?，?，?
06，?，?，15，?，?，?
07，?，?，16，19，22，25

.d字符正向取数
13→12→11→10→07→04→01，13→10→07→04→05→06→07，
13→14→15→16→19→22→25，13→16→19→22→21→20→19；

01，?，?，10，13，16，19
02，?，?，11，?，?，?
03，?，?，12，?，?，?
04，07，10，13，16，19，22
?，?，?，14，?，?，23
?，?，?，15，?，?，24
07，10，13，16，?，?，25

.d字符反向取数
13→12→11→10→13→16→19，13→16→19→22→23→24→25，
13→14→15→16→13→10→07，13→10→07→04→03→02→01。

数字等和
13121110070401+13100704050607+13141516192225+13161922212019
=52 525 252 525 252
13121110131619+13161922232425+13141516131007+13100704030201
=52 525 252 525 252

平方等和
13121110070401^2+13100704050607^2+13141516192225^2+13161922212019^2
=689 727 620 246 920 181 531 876 236
13121110131619^2+13161922232425^2+13141516131007^2+13100704030201^2
=689 727 620 246 920 181 531 876 236

立方等和
13121110070401^3+13100704050607^3+13141516192225^3+13161922212019^3
=9 057 084 036 525 355 551 289 291 743 518 576 683 228
13121110131619^3+13161922232425^3+13141516131007^3+13100704030201^3
=9 057 084 036 525 355 551 289 291 743 518 576 683 228

五阶子方阵
01，04，07，10，13
02，05，08，11，14
03，06，09，12，15
04，07，10，13，16
05，08，11，14，17

01，04，07，?，13
?，?，08，?，14
03，06，09，12，15
04，?，10，?，?
05，?，11，14，17

.d字符正向取数
09→08→07→04→01，09→12→15→14→13，
09→10→11→14→17，09→06→03→04→05；

01，?，07，10，13
02，?，08，?，?
03，06，09，12，15
?，?，10，?，16
05，08，11，?，17

.d字符反向取数
09→08→07→10→13，09→12→15→16→17，
09→10→11→08→05，09→06→03→02→01。

数字等和
0908070401+0912151413+0910111417+0906030405=3 636 363 636
0908071013+0912151617+0910110805+0906030201=3 636 363 636

平方等和
0908070401^2+0912151413^2+0910111417^2+0906030405^2
=3 305 805 939 548 409 284
0908071013^2+0912151617^2+0910110805^2+0906030201^2
=3 305 805 939 548 409 284

立方等和
0908070401^3+0912151413^3+0910111417^3+0906030405^3
=3 005 315 974 275 520 769 815 122 036
0908071013^3+0912151617^3+0910110805^3+0906030201^3
=3 005 315 974 275 520 769 815 122 036

三阶子方阵
01，04，07
02，05，08
03，06，09
.d字符正向取数
05→04→01，05→08→07，05→06→09，05→02→03；
.d字符反向取数
05→04→07，05→02→01，05→06→03，05→08→09。
数字等和
050401+050807+050609+050203=202 020
050407+050201+050603+050809=202 020
平方等和
050401^2+050807^2+050609^2+050203^2=10 203 224 140
050407^2+050201^2+050603^2+050809^2=10 203 224 140
立方等和
050401^3+050807^3+050609^3+050203^3=515 334 445 271 100
050407^3+050201^3+050603^3+050809^3=515 334 445 271 100

这张数表，对于同类全等差数阵来说，算是比较简单的一个了，数目并不大。如果愿意的话，可以选一个复杂点的。当我多方求证，在漫长的计算道路走过后，终于明白了最简单的才是最好的。在数的领域，也要随其自然。

计算表明：这类非对称加法数表，划分转盘结构后，遵循洛书旋机方程组；对其子方阵划分螺旋结构后，同样遵循洛书旋机方程组。

数表是一个生命体，数字好比穴位，不同层次的转盘好比脉络。穴位也好，脉络也好，往高层次发展，会变化为无脉无穴。这一点，同样在数表中有体现。换句话说，我们所揭示的洛书旋机方程组背后还有奥妙。看一个简单的例子，左边为全等差数阵，右边为洛书：

一二三←→四九二
四五六←→三五七
七八九←→八一六

我们经由本文的计算，可以知道，无论是“全等差模式”还是“洛书模式”，划分转盘结构后，都遵循洛书旋机方程组。为什么会这样呢？九数在计算中发现，这个事实的背后蕴涵着一个非常有趣的奥妙。