先天八卦与转盘结构
前面的短文中，我们谈到过八卦的立体模型，只用一个立方体就可以了。现在回头考虑平面结构，也就是古人所说的先天八卦图。我们将看到，先天八卦实际上是一种转盘结构，非常有趣的是，竟然与黄金数列有紧密连系。
第一节――伏羲画卦
远古，伏羲画卦。在如今的文字记载中，只留下了点滴神话。在传说中，人们知道的越来越少了。
（一）太极生两仪
太极→阳□；
太极→阴■。
（二）两仪生四象
太极→阳□→阳阳□□，老阳；
太极→阳□→阳阴□■，少阴；
太极→阴■→阴阳■□，少阳；
太极→阴■→阴阴■■，老阴。
（三）四象生八卦
太极→阳□→阳阳□□→阳阳阳□□□，乾；
太极→阳□→阳阳□□→阳阳阴□□■，兑；
太极→阳□→阳阴□■→阳阴阳□■□，离；
太极→阳□→阳阴□■→阳阴阴□■■，震；
太极→阴■→阴阳■□→阴阳阳■□□，巽；
太极→阴■→阴阳■□→阴阳阴■□■，坎；
太极→阴■→阴阴■■→阴阴阳■■□，艮；
太极→阴■→阴阴■■→阴阴阴■■■，坤。
（四）先天八卦图
兑，乾，巽
离，◎，坎
震，坤，艮
（五）八卦次序图
天：□■□■□■□■
人：□□■■□□■■
地：□□□□■■■■
卦：乾兑离震巽坎艮坤
序：一二三四五六七八
象：天泽火雷风水山地
第二节――转盘结构
从前莱布尼兹将阳爻看作1，阴爻看作0，这样八卦就转换成了数字。卦爻之阴阳自下而上排列，转换成自左至右的0-1数字。
乾，阳阳阳，111；兑，阳阳阴，110；离，阳阴阳，101；震，阳阴阴，100；
巽，阴阳阳，011；坎，阴阳阴，010；艮，阴阴阳，001；坤，阴阴阴，000。
兑=110，乾=111，巽=011
离=101，太极图，坎=010
震=100，坤=000，艮=001
我们数一数每个卦的阴阳爻数目：
乾□□□，111，三阳爻，零阴爻；兑□□■，110，二阳爻，一阴爻；
离□■□，101，二阳爻，一阴爻；震□■■，100，一阳爻，二阴爻；
巽■□□，011，二阳爻，一阴爻；坎■□■，010，一阳爻，二阴爻；
艮■■□，001，一阳爻，二阴爻；坤■■■，000，零阳爻，三阴爻。
在前面的短文中，我们谈到了斐波那契数列，这是一个非常有趣非常神奇的数列。0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…… 计算公式为：f[n]+f[n+1]=f[n+2]，f[1]=0，f[2]=1。（这里n是自然数。）
这个数列中，相邻二项，前项与后项的比值f[n]∶f[n+1]，会越来越接近黄金比，也由此得名黄金数列。
（一）黄金数列
我们考虑黄金数列的一般形式：g[n]+g[n+1]=g[n+2]，g[1]=a，g[2]=b。
[1]写出数列的各项，依次排列为：
g[1]=a，g[2]=b，g[3]=a+b，g[4]=a+2b，g[5]=2a+3b，g[6]=3a+5b，g[7]=5a+8b，g[8]=8a+13b，g[9]=13a+21b，……
[2]选取前面的八项，改写成如下形式：
1a+0b，0a+1b，1a+1b，1a+2b，2a+3b，3a+5b，5a+8b，8a+13b。
[3]接着从第六项开始，将字母系数超过3的改写为除以3的余数：
1a+0b，0a+1b，1a+1b，1a+2b，2a+3b，3a+2b，2a+2b，2a+1b。
[4]我们得出如下结论：
字母a的系数，依次为1-0-1-1-2-3-2-2；
字母b的系数，依次为0-1-1-2-3-2-2-1。
[5]接着考虑数字与卦序的对映，结论如下。
将字母a的系数理解为阳爻数目：
阳爻数目：一，零，一，一，二，三，二，二；
八卦顺序：震，坤，艮，坎，巽，乾，兑，离。
字母b的系数理解为阴爻数目：
阴爻数目：零，一，一，二，三，二，二，一；
八卦顺序：乾，兑，离，震，坤，艮，坎，巽。
我们采用二元数对（x，y）来记录每卦之阴阳爻数目。其中x表示阳爻数目，y表示阴爻数目。
兑（2，1），乾（3，0），巽（2，1）
离（2，1），（阳 ，阴），坎（1，2）
震（1，2），坤（0，3），艮（1，2）
我们采用序列的记号，定义x[1]，x[2]，……，x[8]如下：
乾（3，0）=x[1]；兑（2，1）=x[2]；离（2，1）=x[3]；震（1，2）=x[4]；
坤（0，3）=x[5]；艮（1，2）=x[6]；坎（1，2）=x[7]；巽（2，1）=x[8]。
兑x[2]，乾x[1]，巽x[8]
离x[3]，太极图，坎x[7]
震x[4]，坤x[5]，艮x[6]
注意到在圆图排列中可以绕圈子，我们继续定义x[9]=x[1]，x[10]=x[2]，一般来说有x[n+8]=x[n]。这实际上蕴涵着八周期律。
（二）同余方程
同余现象，古代中国人很早就认识了。在弃九验算法中，所谓弃九，实际就是求取除以九后的余数。比如，世界法轮大法日是5月13日，我们考虑513这个数，其数字和是5+1+3，可以写成513≡5+1+3（模9）。
本文中，我们只考虑一个数除以三的余数，所得余数通常为零一二。如果a和b除以3的余数相同，那么就说a和b模3同余，记作a≡b（模3）。比如3≡0（模3）；又如17=3*5+2，38=3*12+2，记作17≡38（模3）。
仔细观察先天八卦的圆图排列，我们发现有如下一些有趣的规律。
[1]相邻二卦x[n]→x[n+1]
同余方程x[n]+x[n+1]≡x[n+2]（模3）
乾兑→离x[1]+x[2]≡x[3]（模3）：（3，0）+（2，1）≡（2，1）（模3）；
兑离→震x[2]+x[3]≡x[4]（模3）：（2，1）+（2，1）≡（1，2）（模3）；
离震→坤x[3]+x[4]≡x[5]（模3）：（2，1）+（1，2）≡（0，3）（模3）；
震坤→艮x[4]+x[5]≡x[6]（模3）：（1，2）+（0，3）≡（1，2）（模3）；
坤艮→坎x[5]+x[6]≡x[7]（模3）：（0，3）+（1，2）≡（1，2）（模3）；
艮坎→巽x[6]+x[7]≡x[8]（模3）：（1，2）+（1，2）≡（2，1）（模3）；
坎巽→乾x[7]+x[8]≡x[1]（模3）：（1，2）+（2，1）≡（3，0）（模3）；
巽乾→兑x[8]+x[1]≡x[2]（模3）：（2，1）+（3，0）≡（2，1）（模3）。
我们看见，黄金数列模三的结果，就是出现八周期。这组算式，是八周期律的直接反映。
[2]间隔一卦x[n]→x[n+2]
同余方程x[n]+x[n+2] ≡x[n+7]（模3）
乾离→巽x[1]+x[3] ≡x[8]（模3）：（3，0）+（2，1）≡（2，1）（模3）；
离坤→兑x[3]+x[5] ≡x[2]（模3）：（2，1）+（0，3）≡（2，1）（模3）；
坤坎→震x[5]+x[7] ≡x[4]（模3）：（0，3）+（1，2）≡（1，2）（模3）；
坎乾→艮x[7]+x[1] ≡x[6]（模3）：（1，2）+（3，0）≡（1，2）（模3）；
兑震→乾x[2]+x[4] ≡x[1]（模3）：（2，1）+（1，2）≡（3，0）（模3）；
震艮→离x[4]+x[6] ≡x[3]（模3）：（1，2）+（1，2）≡（2，1）（模3）；
艮巽→坤x[6]+x[8] ≡x[5]（模3）：（1，2）+（2，1）≡（0，3）（模3）；
巽兑→坎x[8]+x[2] ≡x[7]（模3）：（2，1）+（2，1）≡（1，2）（模3）。
实际在圆周上行走的时候，感觉就象是：向前走二步，然后退三步。原因很简单，x[n+7]=x[n-1]。
[3]间隔二卦x[n]→x[n+3]
同余方程x[n]+x[n+3] ≡x[n+6]（模3）
乾震→坎x[1]+x[4] ≡x[7]（模3）：（3，0）+（1，2）≡（1，2）（模3）；
兑坤→巽x[2]+x[5] ≡x[8]（模3）：（2，1）+（0，3）≡（2，1）（模3）；
离艮→乾x[3]+x[6] ≡x[1]（模3）：（2，1）+（1，2）≡（3，0）（模3）；
震坎→兑x[4]+x[7] ≡x[2]（模3）：（1，2）+（1，2）≡（2，1）（模3）；
坤巽→离x[5]+x[8] ≡x[3]（模3）：（0，3）+（2，1）≡（2，1）（模3）；
艮乾→震x[6]+x[1] ≡x[4]（模3）：（1，2）+（3，0）≡（1，2）（模3）；
坎兑→坤x[7]+x[2] ≡x[5]（模3）：（1，2）+（2，1）≡（0，3）（模3）；
巽离→艮x[8]+x[3] ≡x[6]（模3）：（2，1）+（2，1）≡（1，2）（模3）。
如果将八卦排列在三行三列的九宫格里，中间一格不用，那么我们可以看见，这组算式描述的恰好是按照象棋中马步行走的路线。看来这跳马的步法也挺有趣的呢！
[4]相对二卦x[n]→x[n+4]
同余方程x[n]+x[n+4] ≡0（模3）
乾坤x[1]+x[5] ≡0（模3）：（3，0）+（0，3）=（3，3）；
兑艮x[2]+x[6] ≡0（模3）：（2，1）+（1，2）=（3，3）；
离坎x[3]+x[7] ≡0（模3）：（2，1）+（1，2）=（3，3）；
震巽x[4]+x[8] ≡0（模3）：（1，2）+（2，1）=（3，3）。
古人对此的解释是：天地定位，山泽通气，雷风相薄，水火不相射，八卦相错。（《说卦》）从算术上看，这实际是一组互补关系，互补的二卦恰好在相对位置。
第三节――邵雍观物
当年，邵雍对先天八卦和后天八卦的排列程序有着非常简明的观点。下面我们引用《观物外篇》中的二句话，然后作点引申。
【原文】乾坤纵而六子横，易之本也；震兑横而六卦纵，易之用也。
【原文】四正者，乾坤坎离也。观其象无反复之变，所以为正也。
按照邵雍的说法，我们给出二个基本操作：
[1]反序操作：abc←→cba。例如：100←→001。
[2]互补操作：abc←→a’b’c’。这里a’为a的补数，总有 a+a’=1。b’和c’同理。例如：100←→011。
（一）一纵三横
先天八卦
兑乾巽
离◎坎
震坤艮
按照反序操作abc←→cba：
乾111←→111；坤000←→000； 离101←→101；坎010←→010。
乾坤坎离，此四卦反序操作后仍然为自身。
纵：乾111，坤000，互补排列。横：离101，坎010，互补排列。
横：兑110，巽011，反序排列。横：震100，艮001，反序排列。
（二）一横三纵
在二个基本操作的基础上，我们定义合成操作。
[3]反序互补：abc←→c’b’a’。
线路一：从abc开始，先反序操作，得出cba；又互补操作，得出c’b’a’。
线路二：从abc开始，先互补操作，得出a’b’c’；又反序操作，得出c’b’a’。
看一个例子，011，先反序操作得出110，又互补操作得出001。
先天八卦
兑乾巽
离◎坎
震坤艮
横：离101，坎010，反序互补。纵：兑110，震100，反序互补。
纵：乾111，坤000，反序互补。纵：巽011，艮001，反序互补。
后天八卦
巽离坤
震◎兑
艮坎乾
横：震100，兑110，反序互补。 纵：巽011，艮001，反序互补。
纵：离101，坎010，反序互补。 纵：坤000，乾111，反序互补。
https://www.zhengjian.org/node/58836