先天八卦与后天八卦
在前面的短文中，我们谈到过八卦。大体上看，有二种形式，当涉及某种构造与八卦相映的时候，用的是先天八卦；当涉及八卦与洛书数字对映的时候，用的是后天八卦。
北宋理学家邵雍在《观物外篇》中说：“乾坤纵而六子横，易之本也；震兑横而六卦纵，易之用也。”一般来说，人们认为邵雍这里谈论的正是八卦的二种不同排列程序，乾坤纵而六子横指先天八卦，震兑横而六卦纵指后天八卦。常见的说法是，先天为体，后天为用。
先天八卦
兑乾巽
离◎坎
震坤艮
后天八卦
巽离坤
震◎兑
艮坎乾
这篇短文中，我们认真的探讨一下先天八卦和后天八卦的关系问题。
（一）洛书排列
按照杨辉当年的观点，所谓洛书即为三行三列的纵横图。这要求构造一个数字方阵，其每行的和，每列的和，以及二条对角线的和，都恰好一样。
x1，x2，x3
x4，x5，x6
x7，x8，x9
从方程的角度来看，以x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9为未知数。要求解方程组，这个方程组未知数多，而方程少。实际求解，可以发现解是无穷尽的。
行：x1+x2+x3=k，x4+x5+x6=k，x7+x8+x9=k；
列：x1+x4+x7=k，x2+x5+x8=k，x3+x6+x9=k；
斜：x1+x5+x9=k，x3+x5+x7=k。
四，九，二
三，五，七
八，一，六
很明显，洛书是符合这个要求的。可是洛书并不是唯一符合要求的。比如，我们将“四九二”与“八一六”对换一下，得出一个新的数阵。这个新的数阵，同样符合要求。
八，一，六
三，五，七
四，九，二
现在的问题是，如果只用一到九这九个数，那么有多少个不同的数阵符合要求呢？实际寻找，人们知道了，这样的方阵可以排列出八个，我们称为洛书的这个数阵只是这八个数阵中非常幸运的一个。说洛书幸运，乃是因为洛书的妙道传天下，至简至易。这是小学一年级时候的算术题呢！
洛书旋机方程组
数字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3
我们见过这组方程很多次了，在前面的短文中，曾经根据洛书转盘结构领悟出了这样一组有趣的解。
a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8，
b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8，
c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8，
d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8，
e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8，
f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8，
g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8，
h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8。
其中x_1，x_2，x_3，x_4，x_5，x_6，x_7，x_8为参数。
这组解，看上去有点复杂，实际上每个式子只是沿着洛书转盘走了一圈。行走的方向有正反，出发点选择在四角，很自然的得出了八个式子。
八个数阵，八个式子，恰好都是八！很自然的，我们想到了八卦，这是一种典型的象数思维。古人将天地万物装在八卦这只宝葫芦中，我们效法之，考虑八个数阵如何与八卦对映，也考虑八个式子如何与八卦对映。
（二）先天八卦
卦：乾兑离震巽坎艮坤
序：一二三四五六七八
兑乾巽
离◎坎
震坤艮
a，b，c
d，e，f
g，h，i
这是一个三行三列的数阵，第一行为a，b，c；第二行为d，e，f；第三行为g，h，i。为了书写简单，我们也记作[a，b，c；d，e，f；g，h，i]。
对于一个三行三列的数字方阵，我们考虑三种最基本的操作变换。
[1]上行与下行的变换
变换A
a，b，c→a，b，c
d，e，f→d，e，f
g，h，i→g，h，i
变换A’
a，b，c→g，h，i
d，e，f→d，e，f
g，h，i→a，b，c
[2]左列与右列的变换
变换B
a，b，c→a，b，c
d，e，f→d，e，f
g，h，i→g，h，i
变换B’
a，b，c→c，b，a
d，e，f→f，e，d
g，h，i→i，h，g
[3]行与列整体的变换
变换C
a，b，c→a，b，c
d，e，f→d，e，f
g，h，i→g，h，i
变换C’
a，b，c→a，d，g
d，e，f→b，e，h
g，h，i→c，f，i
很显然，[1]中变换A是不变的，变换A’是交换上行与下行的；[2]中变换B是不变的，变换B’是交换左列与右列的；[3]中变换C是不变的，变换C’是行列的整体交换，例如第三行变为第三列。
我们考虑这三种基本变换的合成，可以有这样八种形式：ABC；ABC’；AB’C；AB’C’；A’BC ；A’BC’；A’B’C；A’B’C’。
举一个例子，考虑对洛书操作，这里AB’C’可以理解为下面的三个步骤。
先作变换A，结果为：
四，九，二
三，五，七
八，一，六
接着作变换B’，结果为：
二，九，四
七，五，三
六，一，八
最后作变换C’，结果为：
二，七，六
九，五，一
四，三，八
对于上面给出的八种合成变换，将其作用于洛书，逐个操作，我们得出了八个不同的数阵，这恰好是由一到九这九个数字组成的三行三列纵横图的全部结果。
数阵之一：变换ABC
四，九，二
三，五，七
八，一，六
数阵之二：变换ABC’
四，三，八
九，五，一
二，七，六
数阵之三：变换AB’C
二，九，四
七，五，三
六，一，八
数阵之四：变换AB’C’
二，七，六
九，五，一
四，三，八
数阵之五：变换A’BC
八，一，六
三，五，七
四，九，二
数阵之六：变换A’BC’
八，三，四
一，五，九
六，七，二
数阵之七：变换A’B’C
六，一，八
七，五，三
二，九，四
数阵之八：变换A’B’C’
六，七，二
一，五，九
八，三，四
我们考虑这八类数阵与八卦的对映，将变换A，B，C当作0，将变换A’，B’，C’当作1，那么这些合成变换，都可以化为三位数字。接着，我们按照从前的办法，将0-1数的形式改写为卦的形式。最终所得的结果如下。
数阵之一：坤→000→ABC；
数阵之二：艮→001→ABC’；
数阵之三：坎→010→AB’C；
数阵之四：巽→011→AB’C’；
数阵之五：震→100→A’BC；
数阵之六：离→101→A’BC’；
数阵之七：兑→110→A’B’C；
数阵之八：乾→111→A’B’C’。
这个排列是非常自然的，坤卦纯阴，什么也没有变化；乾卦纯阳，作了三次变化。细推敲的话，乾兑，离震，巽坎，艮坤，恰好符合四象模式。
六，一，八，六，七，二，二，七，六
七，兑，三，一，乾，九，九，巽，一
二，九，四，八，三，四，四，三，八
八，三，四，兑，乾，巽，二，九，四
一，离，九，离，◎，坎，七，坎，三
六，七，二，震，坤，艮，六，一，八
八，一，六，四，九，二，四，三，八
三，震，七，三，坤，七，九，艮，一
四，九，二，八，一，六，二，七，六
（三）后天八卦
巽离坤
震◎兑
艮坎乾
我们用数字和来区分八卦，结果有奇数和偶数二种，视奇数者为阳卦，视偶数者为阴卦。
四位阳卦：乾震坎艮
乾，111，1+1+1=3；震，100，1+0+0=1；
坎，010，0+1+0=1；艮，001，0+0+1=1。
四位阴卦：兑离巽坤
兑，110，1+1+0=2；离，101，1+0+1=2；
巽，011，0+1+1=2；坤，000，0+0+0=0。
古人以人物类八卦，非常有趣，很象一个大家庭。
艮，001，为少男；坎，010，为中男；
震，100，为长男；乾，111，为老男；
兑，110，为少女；离，101，为中女；
巽，011，为长女；坤，000，为老女。
转盘结构
x_1，x_2，x_3
x_8，[转]，x_4
x_7，x_6，x_5
[1]阳卦四阵
数阵之一：坤→000→ABC
四x_1，九x_2，二x_3
三x_8，[转盘]，七x_4
八x_7，一x_6，六x_5
a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8
数阵之四：巽→011→AB’C’
二x_1，七x_2，六x_3
九x_8，[转盘]，一x_4
四x_7，三x_6，八x_5
b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8
数阵之七：兑→110→A’B’C
六x_1，一x_2，八x_3
七x_8，[转盘]，三x_4
二x_7，九x_6，四x_5
c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8
数阵之六：离→101→A’BC’
八x_1，三x_2，四x_3
一x_8，[转盘]，九x_4
六x_7，七x_6，二x_5
d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8
[2]阴卦四阵
数阵之二：艮→001→ABC’
四x_1，三x_2，八x_3
九x_8，[转盘]，一x_4
二x_7，七x_6，六x_5
e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8
数阵之五：震→100→A’BC
八x_1，一x_2，六x_3
三x_8，[转盘]，七x_4
四x_7，九x_6，二x_5
f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8
数阵之八：乾→111→A’B’C’
六x_1，七x_2，二x_3
一x_8，[转盘]，九x_4
八x_7，三x_6，四x_5
g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8
数阵之三：坎→010→AB’C
二x_1，九x_2，四x_3
七x_8，[转盘]，三x_4
六x_7，一x_6，八x_5
h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8
从前，我们将a，b，c，d，e，f，g，h当作洛书中按照不同线路选取的数字串；如今，我们发现，这八个式子还可以当作不同数阵中按照相同线路选取的数字串。
二，七，六，八，三，四，四，九，二
九，●，一，一，●，九，三，●，七
四，三，八，六，七，二，八，一，六
八，一，六，巽，离，坤，六，一，八
三，○，七，震，◎，兑，七，●，三
四，九，二，艮，坎，乾，二，九，四
四，三，八，二，九，四，六，七，二
九，○，一，七，○，三，一，○，九
二，七，六，六，一，八，八，三，四
从前，我们将洛书旋机方程组视为天地人三才之道的体现；如今，我们发现原来这些等和方程正是左为阳右为阴的八卦平衡。图中●表示阴卦，○表示阳卦。
巽●+离●+坤●+兑●=乾○+坎○+艮○+震○
细思量，我们发现这个式子除了象征“洛书旋机方程组”之外，本身也是对的！也就是说，我们有一个二進制算式：011+101+000+110=111+010+001+100=1110。
古人云：窥天地之奥，达造化之极。经由本文，我们得出一个有趣的结果：洛书数阵的八种形式，正是先天八卦的体现；洛书旋机的八种取数，恰是后天八卦的妙用。先天为体，后天为用，就这样，我们用洛书九数变化出方阵八卦，将先天八卦与后天八卦巧妙的连系在一起了！
https://www.zhengjian.org/node/59355